01
Определение
loga x = y ⇔ ay = x
Логарифм по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить x.
- log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8
- log₅ 25 = 2, потому что 5² = 25
- log₄ 2 = 1/2, потому что 4^(1/2) = 2
02
Когда логарифм существует
- Основание: a > 0, a ≠ 1
- Аргумент: x > 0 — логарифма нуля и отрицательных чисел нет
- log₂(−8), log₃ 0, log₋₂ 8 — не существуют
- log_a 1 = 0 при любом основании: a⁰ = 1
03
Базовые свойства
loga 1 = 0, loga a = 1
loga(ak) = k, aloga x = x
Это следствия определения — их стоит знать наизусть: они постоянно выручают в преобразованиях.
04
Действия с логарифмами
loga(x·y) = loga x + loga y
loga(x / y) = loga x − loga y
loga(xk) = k · loga x
переход: loga x = logb x / logb a
05
Простейшие уравнения
- Привести к виду log_a x = b.
- По определению: x = a^b.
- Проверить, что x > 0 (и выражения под логарифмами > 0).
- Пример: log₃(x − 1) = 2 → x − 1 = 9 → x = 10.
06
График и поведение
- a > 1 — функция возрастает; 0 < a < 1 — убывает
- График всегда проходит через точку (1; 0)
- Возле нуля логарифм уходит в −∞ (при a > 1)
- Больше основание — график положе: log₁₀ x растёт медленнее log₂ x
07
Десятичный и натуральный
lg x = log10 x, ln x = loge x
Число e ≈ 2,718 — основание натурального логарифма. Калькулятор и экзамен считают именно ln и lg.
08
Частые ошибки
- log(x + y) ≠ log x + log y — сумма логарифмов это логарифм произведения
- log_a x² = 2 log_a x — множитель уходит вперёд, а не «в степень логарифма»
- Отрицательный ответ — не ошибка: log₁/₂ 8 = −3, ведь (1/2)⁻³ = 8
- При возведении обеих частей в чётную степень появляются лишние корни — делай проверку
09
Мини-тест
1. Чему равно log₂ 16?
2⁴ = 16, значит логарифм равен 4.
2. Чему равно log₃ 1?
Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому логарифм единицы — 0.
3. log₂ 8 + log₂ 4 = ?
log₂ 8 = 3, log₂ 4 = 2, сумма 5. Или сразу: 8 · 4 = 32 = 2⁵.
4. Если log_a x = 3 и a = 2, чему равен x?
По определению x = a³ = 2³ = 8.