Определение
Квадратичная функция — функция, в которой переменная x входит во вторую степень, а a, b, c — заданные числа. График — парабола.
- b = c = 0 → простейший случай y = ax²
- b = 0 или c = 0 → неполная квадратичная функция
Что делают коэффициенты
a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз. Чем больше |a|, тем у́же парабола.
Смещает вершину: x₀ = −b/(2a). Сам по себе на форму не влияет.
Точка пересечения с осью y: (0; c). Сдвигает график по вертикали.
Проверь на живом графике выше: измени каждый коэффициент по очереди.
Дискриминант и корни
Два корня. Парабола пересекает ось x в двух точках.
Один (двойной) корень. Парабола касается оси x в вершине.
Парабола не пересекает ось x. Трёхчлен не раскладывается на множители над ℝ.
Вершина и ось симметрии
Ось симметрии параболы — прямая x = x₀: точки по обе стороны от неё зеркальны.
Теорема Виета
Связь корней с коэффициентами — удобна для устного подбора корней.
Пример: x² − 5x + 6 = 0 → сумма 5, произведение 6 → корни 2 и 3.
Разложение на множители
Следствие: y = a(x − x₁)(x − x₂) — удобная форма, если корни уже известны.
Форма вершины и сдвиги
Вершина в точке (m; n), получается из y = ax²:
- m > 0 → сдвиг вправо, m < 0 → влево
- n > 0 → сдвиг вверх, n < 0 → вниз
- a < 0 → отражение вниз, |a| меняет ширину
Свойства: a > 0 против a < 0
| a > 0 — ветви вверх | a < 0 — ветви вниз | |
|---|---|---|
| Экстремум | y₀ — минимум | y₀ — максимум |
| Область значений | [y₀; +∞) | (−∞; y₀] |
| Возрастание | на (x₀; +∞) | на (−∞; x₀) |
| Убывание | на (−∞; x₀) | на (x₀; +∞) |
| Знак y при D > 0 | y < 0 между корнями | y > 0 между корнями |
Алгоритм построения
- Найти вершину: x₀ = −b/2a, y₀ = f(x₀).
- Провести ось симметрии x = x₀.
- Найти нули: решить ax² + bx + c = 0.
- Отметить точку (0; c) и симметричную ей.
- Провести плавную параболу через точки.
Лайфхаки (как у учителя на полях)
- a + b + c = 0 ⇒ один корень x₁ = 1, второй x₂ = c/a
- a − b + c = 0 ⇒ один корень x₁ = −1, второй x₂ = −c/a
- c = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 — корни 0 и −b/a
- b чётный, b = 2k ⇒ считай D/4 = k² − ac, корни (−k ± √(k²−ac))/a
- Симметрия экономит время: точки параболы зеркальны относительно x = x₀